Система линейных уравнений называется согласованной, если она имеет решение, и она называется несогласованной, если она не имеет решений
Правило Крамера является явной формулой для решения системы линейных уравнений с таким количеством уравнений, как неизвестные, действительные всякий раз, когда система имеет единственное решение. Он выражает решение в терминах определителей (квадратной) коэффициентной матрицы и матриц, полученных из нее, заменяя один столбец постоянным столбцом правых частей уравнений (https://matematika-club.ru/onlajn-kalkulyator-nahozhdeniya-opredelitelya-matricy). Он назван в честь Габриэля Крамера (1704-1752).
Определителем является значение, связанное с квадратной матрицей. Его можно вычислить из записей матрицы с помощью специального арифметического выражения, тогда как существуют другие способы определения его значения. Детерминанты встречаются во всей математике. Использование детерминант в исчислении включает определитель Якоби в правиле подстановки для интегралов от функций нескольких переменных. Они используются для определения характеристического многочлена матрицы, являющегося существенным инструментом в задачах с собственными значениями в линейной алгебре. Элементарная матрица — это матрица, которая отличается от единичной матрицы (In) одной единственной элементарной операцией строки. Две матрицы эквивалентны, если каждый из них равен полученные из другого путем применения последовательности операций в строке. Пусть n 2′.2 — положительное целое число. Тогда B = In — квадратная матрица, n x n, где bij = 1, если i = j и bij = 0, если i ≠ j. Если A — матрица n x m, то AIm = A и In A = A.
Квадратная матрица A, n x n называется обратимой или невырожденной, если существует матрица n x n, обозначенная A-1 такая, что
AA-1 = A-1 A = In
Матрица представляет собой блок, состоящий из столбца n строк и m. Запись в матрице B, расположенной в i-й строке и j-ом столбце B, обозначается bij. Квадратная матрица A, nxn, называется симметричной, если AT = A, и она называется косой симметричной, если AT = —
Транспонирование матрицы A обозначается через AT так, что aT = aji
Определение
В этой записи мы описываем все основные операторы матрицы: сложение, вычитание и умножение. Мы показываем важность матриц при изучении системы линейных уравнений (расширенная матрица и операции с строками). Мы показываем разные методы расчета детерминанта квадратной матрицы. Мы показываем важность детерминанта в решении системы линейных уравнений (правило Крамера) и в определении обратного к матрице (Adjoint method).
Графики — очень полезные способы представления информации о социальных сетях. Однако, когда есть много актеров и / или многих видов отношений, они могут стать настолько визуально сложными, что очень сложно увидеть шаблоны. Также можно представить информацию о социальных сетях в виде матриц. Представление информации таким образом также позволяет применять математические и компьютерные инструменты для обобщения и определения шаблонов. Аналитики социальных сетей используют матрицы по-разному. Итак, необходимо понять несколько основных вещей о матрицах из математики. Например, самая простая и наиболее распространенная матрица двоичная. То есть, если присутствует галстук, в ячейку вводится одна; если нет связи, вводится нуль. Такая матрица является отправной точкой для почти всего сетевого анализа и называется «матрицей смежности», поскольку она представляет, кто находится рядом или рядом с кем в «социальном пространстве», сопоставленным отношениями, которые мы измерили. Ниже приведен пример двоичной матрицы:
0 1 1
0 0 1
0 1 0
Матрицы и линейная алгебра — неотъемлемые предметы, и они являются важными «концепциями», необходимыми во многих аспектах реальной науки о жизни. Субъект линейной алгебры может быть частично объяснен значением двух терминов, содержащих название. Мы можем понимать, что «линейный» означает любое «прямое» или «плоское». Например, в плоскости xy мы привыкли описывать прямые как набор решений уравнения вида y = mx + b, где наклон m и y-перехват b являются константами, которые вместе описывают линию. Живя в трех измерениях, с координатами, описываемыми тройками (x, y, z), их можно описать как множество решений уравнений вида ax + by + cz = d, где a, b, c, d — константы которые вместе определяют плоскость. Хотя мы можем описывать плоскости как «fl at», строки в трех измерениях можно охарактеризовать как «прямые». На многовариантном курсе исчисления напомним, что строки представляют собой множества точек, описываемых такими уравнениями, как x = 3t — 4, y = -7t + 2, z = 9t, где t — параметр, который может принимать любое значение.
Другой взгляд на это понятие «fl atness» заключается в том, чтобы признать, что только что описанные множества точек являются решениями уравнений относительно простой формы. Эти уравнения включают только добавление и умножение. Вот несколько примеров типичных уравнений:
2x + 3y — 4z = 134
x1 + 5×2 -x3 + x4 + x5 = 0
9a — 2b + 7c + 2d = -7
То, что мы не увидим в курсе линейной алгебры, — это такие уравнения, как:
xy + 5yz = 13×1 + x32 =x4 — x3x4x25 = 0
cos (ab) + log(c — d) = -2
Система линейных уравнений в нескольких неизвестных представляется естественным образом с использованием формализма матриц.
Слово «алгебра» часто используется в курсах математической подготовки. Скорее всего, мы потратили хорошие 10-15 лет на изучение алгебры вещественных чисел, а также некоторое введение в очень похожую алгебру комплексных чисел. Однако есть много новых алгебр для изучения и использования, и, вероятно, линейная алгебра и матричные операции будут нашей второй алгеброй. Как и изучение второго языка, необходимые корректировки иногда могут быть сложными, но вознаграждений много. И это облегчит изучение нашей третьей и четвертой алгебр. Возможно, «группы» и «кольца» — отличные примеры других алгебр с очень интересными свойствами и приложениями.
Краткое обсуждение выше о линиях и плоскостях предполагает, что линейная алгебра имеет по своей природе геометрическую природу, и это верно. Примеры в двух и трех измерениях могут использоваться для обеспечения ценного понимания важных понятий этого предмета.
Материал, представленный здесь, можно найти в каждом учебнике по основной линейной алгебре. Поскольку существует так много учебников по основной линейной алгебре, и мы не можем их перечислить, мы ссылаемся на несколько книг здесь. Например, Axler (1997), Bernstein (2005), Beezer (2012), Blyth и Robertson (2002), Kaw (2011), Lang (1986), Lay (2003), Robbiano (2011) и Shores (2007).
Matrix Algebra, Basics of
Ayman Badawi
American University of Sharjah